计算逆序数

在很早之前,我曾经发过一篇文章,讲的是冒泡排序的交换次数就是逆序数。可是,这样计算逆序数的话,时间成本就很高,比较冒泡是时间复杂度为O(N²)的算法呢!那怎么办呢?其实,我们可以使用归并排序的思想来计算逆序数。

(以下内容需要先了解归并排序,具体讲解可以看我的这一篇文章:)

我们会发现,在进行升序的归并排序时,每一次后方元素移到前面来的移动距离就是本次操作的逆序数。那么我们思考之后可以得出,每一步操作的逆序数就是n1-i

具体得看下面这个图:

由于每一层递归结束之后,左右两边都变成了已经升序排序的数组,那么自然地,当右边的元素小于左边元素的时候,把它移到前面的逆序数就是n1-i

代码实现

#include<iostream>
using namespace std;

unsigned int L[100002],R[100002];
unsigned int num[200002];
unsigned long long nixushu=0;

void _Merge(int left, int mid, int right)
{
    int n1 = mid-left;
    int n2 = right-mid;

    for(int i=0;i<n1;i++)
        L[i] = num[left+i];

    for(int i=0;i<n2;i++)
        R[i] = num[mid+i];


    L[n1]=R[n2]=1000000003;
    int js1=0,js2=0;

    for(int i=left;i<right;i++)
    {
        if(L[js1]<=R[js2])
        {
            num[i] = L[js1];
            js1++;
        }
        else
        {
            num[i] = R[js2];
            js2++;
            nixushu += n1-js1;

        }
    }

}

void mergeSort(int left, int right)
{
    if(left+1>=right)
        return;

    int mid = (left+right)/2;
    mergeSort(left,mid);
    mergeSort(mid,right);
    _Merge(left, mid, right);

}


int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
        cin>>num[i];
    mergeSort(0,n);
    cout<<nixushu<<endl;
}

因此,我们需要关注的关键问题就是合并函数的实现。经过上面的分析,我们可以知道,我们只需要在归并排序的合并函数里面,负责处理L[js1]>R[js2]的那部分代码里面做一些修改,就可以实现计算逆序数的目的。

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